Далее | Содержание | Назад

Глава2. Теория пределов


Определение предела последовательности


Уточним еще раз некоторые моменты...

Определение 1. Последовательностью называется упорядоченное счетное множество чисел .

Обратите внимание, что а) всего чисел - счетное множество и б) они расположены в определенном порядке.

Над последовательностями можно проделывать некоторые операции.

а) Умножение последовательности на число.

Пусть дана последовательность и число c. Тогда произведением последовательности на число c называется последовательность вида .

б) Сложение и вычитание последовательности.

Пусть даны две последовательности и . Суммой и называется последовательность вида

+ = .

Разностью - последовательность видa

- = .

в) Умножение и деление последовательностей.

Произведение последовательностей

= .

Частное последовательностей

.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если

ограниченной снизу, если ;

ограниченной, если ;<

(последнее часто пишут так ).

Определение 3. Говорят, что при n стремящемся к бесконечности, последовательность сходится к пределу a (запись или ) если

Число а называют пределом последовательности .

Дадим комментарий к этому важнейшему понятию.

В понятии “последовательность” впервые в математики нашло свое отражение движение. До введения этого понятия математика изучала лишь статистические объекты - площадь треугольника, 2x2 = 4 и т.д., и только в последовательности впервые находит свое отражение движение. Действительно, пусть - это моя координата на оси в какой-то - й момент времени. Тогда, идя по последовательности, я двигаюсь по оси - сначала я нахожусь в точке , затем перехожу в точку , затем в точку и т.д..

Конечно, движение бывает различным. Понятие предела отражает один из типов этого движения. Посмотрим еще раз на определение понятия предела, записав его в виде.

Вокруг точки a взята произвольная - окрестность . Сначала движение может быть произвольным, но вот на - м шаге последовательность попадает в эту - окрестность и все последующее движение происходит в этой - окрестности, т.е. попав на - м шаге в окрестность точки a, последовательность навсегда остается в этой окрестности. Так как сколь угодно мала, то это означает, что в своем движении мы неограниченно близко приближаемся к точке a и уже не можем уйти от нее. Понятие предела и отражает именно такой тип движения.

Дадим еще несколько похожих определений.

Определение 4. Говорят, что при последовательность сходится к пределу, равному (запись: или ) если

.

Это означает, что какое бы большое число мы не взяли, при своем движении на каком - то шаге мы окажемся правее точки и при дальнейшем движении всегда будем находиться правее этой точки.

Определение 5. Говорят, что при последовательность сходится к пределу, равному (запись: или если

.

Попробуйте описать сами движение этой последовательности.


Бесконечно - малые последовательности


Определение 1. Последовательность называется бесконечно-малой последовательностью, если , т.е. если

.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно-большой последовательностью, если (это записывается еще и так: , не учитывая знака перед ), т.е. если

.

Изучим некоторые свойства этих последовательностей.

10. Сумма и разность бесконечно-малых последовательностей есть также бесконечно-малая последовательность.

Доказательство:

- б.м.п. =>

- б.м.п. =>

Возьмем. Тогда

откуда следует, что есть б.м.п.

Следствие. Сумма любого конечного числа б.м.п. ест также б.м.п

20. Произведение б.м.п на ограниченную последовательность есть б.м.п.

Доказательство:

- ограничена. =>

- б.м.п. =>

.

Но тогда

отсюда и следует, что есть б.м.п.

3. Б.м.п. ограничена

Доказательство:

Пусть - б.м.п. Тогда .

Возьмем .

Тогда т.е. ограничена.

Следствие. Произведение б.м.п. есть также б.м.п.

4. Пусть - б.м.п. и . Тогда есть б.б.п.

Доказательство:

- б.м.п => .

Возьмем любое и положим .

Тогда

отсюда следует, что есть б.б.п.

5. Пусть - б.б..п, тогда есть б.м.п.

- б.б.п => .

Возьмем любое и положим

Тогда

отсюда следует, что есть б.м.п.


Свойства сходящихся последовательностей


Определение. Последовательность называется сходящейся, если у нее существует конечный предел (т.е. существует и ).

Рассмотрим свойства этих последовательностей.

1. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде , где , а - б.м.п.

Необходимость. Пусть . Это значит, что

Обозначим . Тогда и

т.е. б.м.п.

Достаточность. Пусть , где а - б.м.п., т.е. .

Но так как , то , т.е. .

Это свойство позволяет почти все остальные свойства свести к свойствам б.м.п.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. , где б.м.п. В силу этого ограничена, т.е. .

Но тогда , т.е. ограничена.

3. Если и сходящиеся последовательности, то тоже сходящаяся последовательность и .

Доказательство:

сходящаяся => , где б.м.п.

сходящаяся=> , где б.м.п.

Но тогда .

Но по свойствам б.м.п. есть б.м.п. и поэтому есть сходящаяся последовательность и

4. Если сходящаяся последовательность, то тоже сходится и

сходится => , где б.м.п.

Но тогда и, по свойству б.м.п. есть тоже б.м.п. Поэтому сходится и

5. Если и сходящиеся последовательности, то тоже сходящаяся последовательность и

Доказательство:

сходится=> , где б.м.п.

сходится => , где б.м.п.

Но тогда . Но, по свойствам б.м.п., , , есть б.м.п. их сумма есть также б.м.п. и есть сходящаяся последовательность и .

6. Если , то начиная с некоторого , последовательность ограничена.

Доказательство:

сходится => .

Т.к. то возьмем . Тогда

. Но тогда выполняется неравенство

.

Сравнивая начало и конец получим, что

и , т.е. при последовательность ограничена.

7. Если и сходящиеся последовательности, причем . Тогда есть также сходящаяся последовательность и

Доказательство:

сходится => , где б.м.п.

сходится => , где б.м.п.

Тогда

.

Вспомним, что. Тогда есть б.м.п., есть б.м.п и, т.к. ограниченна, то есть тоже б.м.п. Итак,

б.м.п. и поэтому


Предельный переход в неравенствах


Теорема 1. Пусть - сходящаяся последовательность и . Тогда .

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Обозначим . Тогда утверждение, противоположное доказываемому, имеет вид:

.

Возьмем. Тогда, по определению, предела последовательности, можно написать

.

Последнее неравенство распишем в виде двойного

Но так как , то и получается что , что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если и сходящиеся последовательности и , то

.

Доказательство дается следующей цепочкой следствий

=> => =>

=>

Важное замечание. Допустим, что в условии теоремы вместо мы написали. Можно ли утверждать, что ?

Ответ отрицательный. Действительно, пусть, например, . Тогда , но .

Таким образом, итог этой теоремы и замечание выглядит так: в неравенствах допустим предельный переход, надо только иметь ввиду, что после предельного перехода строгое неравенство (типа > или <) может замениться на нестрогое

(> перейдет в , < перейдет в ).

Теорема 2. Пусть

  1. и сходящиеся последовательности;
  2. ;
  3. Тогда также сходящаяся последовательность и .

Доказательство:

=>

или

=>

или.

Беря и учитывая, что можно записать

.

Выбрасывая лишнее, получим что

или ,

что и говорит о том, что .

Эту теорему часто называют “теоремой о двух милиционерах” (, - милиционеры, - преступник, которого они “берут в клещи”).


Предел монотонной последовательности


Определение. Последовательность называется

- монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

- монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом , монотонно убывающие - символом .

Сейчас докажем одну из важнейших теорем.

Теорема:

1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .

Доказательство.

Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.е. такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .

Вспомним свойства . Их было два

Но учтем теперь что . Это значит, что . Тогда имеем следующую цепочку неравенств

Выбрасывая лишнее получим, что или , что и говорит о том, что .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что.

Но . Значит, и поэтому можно записать . Выбрасывая в этом неравенстве , получим окончательно

что и говорит о том, что.


Лемма о вложенных отрезках


Определение 1. Множество, элементами которого являются отрезки, называется системой отрезков.

Определение 2. Система замкнутых отрезков называется стягивающщей, если

1. , т.е. каждый последующий отрезок расположен внутри предыдущего;

2. , т.е. длины отрезков стремятся к нулю.

Лемма о вложенных отрезках:

Для любой системы замкнутых стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство.

1. Рассмотрим множество левых концов наших отрезков. Очевидно, что

а)

б)

Поэтому, по предыдущей теореме, существует конечный .

2. Рассмотрим множество правых концов наших отрезков. Очевидно, что

а)

б)

поэтому существует конечный .

3. Так как по условию , то

.

Обозначим этот общий предел через c:

.

4. Так как а , то очевидно что , т.е. точка ; (она принадлежит всем отрезкам сразу).

5. Докажем, что точка c единственная. Предположим противное, что точка , такая что . Но тогда было бы, что что противоречит тому, что .

Отметим одну деталь: мы доказали не только существование точки c, принадлежащей всем отрезкам, но и то, что . Это будет нам надо в дальнейшем.


Число e


Прежде чем переходить к знаменитому в математике числу e, дадим без вывода одну железную формулу, которая называется биномом Ньютона.

Напомним, что (читается: n - факториал) есть произведение целых чисел от 1 до :

По определению считается.

Выражение (читается из по )

называется биноминальным коэффициентом. Другое выражение для

имеет вид

В частности , , и т.д.

Бином Ньютона имеет вид

или в более явном виде

Отсюда легко получаются известные из школьного курса выражения для , , и т.д.

Рассмотрим теперь последовательность с членами

, .

1. Получим другое выражение для . Используя формулу бинома Ньютона, получим .

2. Покажем, что . Для этого запишем рядом и .

Так как , то , . Поэтому каждое слагаемое в больше соответствующего слагаемого в . Кроме того, в есть “лишние” положительные слагаемое

которого не было в . Поэтому .

3. Покажем теперь, что ограничена сверху.

Действительно, так как , то

.

Но так как

и вообще то < и

где в процессе выкладок использована формула для суммы геометрической прогрессии.

Итак, монотонно возрастает и . Поэтому существует который и называется числом e.

.

Это число чрезвычайно популярно в математике и в дальнейшем будет постоянно встречаться.


Подпоследовательности


Пусть некоторая последовательность.

Пусть есть также последовательность у которой

а) все - целые положительные числа;

б) монотонно возрастает с ростом ;

в) .

Рассмотрим теперь последовательность вида

,которая представляет собой “кусочек” исходной последовательности и которая получается из нее оставлением членов с номерами . Она называется подпоследовательностью последовательности .

Пример. Пусть . Рассмотрим последовательность . Тогда - подпоследовательность исходной последовательности .

Из многочисленных свойств подпоследовательности мы рассмотрим лишь два.

Теорема. Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность тоже сходится к тому же самому пределу.

Доказательство. В данном доказательстве будет использован формальный прием преобразования строчек кванторов, который необходимо освоить, так как в дальнейшем он будет часто использоваться.

И так,

=>

=>.

Совершим “прогулку” по этим строкам кванторов по маршруту указанному стрелками. Тогда комбинация кванторов “взаимно уничтожается”. Оставляя лишь подчеркнутые кванторы получим

что по определению означает, что .

А теперь знаменитая.

Лемма Больцано - Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. При доказательстве этой леммы использован широко применяемый прием - “деление отрезка пополам”.

Итак, пусть некоторая последовательность ограниченна, т.е. . Это означает, что все члены последовательности лежат на отрезке .

1. Построение стягивающей системы отрезков.

Разделим отрезок пополам точкой . Мы получим два отрезка и . Так как на все отрезке имеется бесконечно много членов последовательности, то хотябы на одной половине также будет бесконечно много членов последовательности. Оставим для дальнейшего рассмотрения эту половину (если на обеих половинах бесконечно много членов последовательности - оставим любую из них) и назовем ее отрезком .

Разделим отрезок пополам. Мы получим два отрезка и . Так как на всем отрезке находиться бесконечно много членов последовательности, то хотя бы на одной половине также находится бесконечно много членов последовательности. Оставим для дальнейшего рассмотрения эту половину и назовем ее отрезком .

Разделим отрезок пополам. Так как на всем отрезке находиться бесконечно много членов последовательности, то ....

Продолжим эту процедуру до бесконечности. В результате мы получим систему отрезков , , , , которые характеризуются тем, что

а) на каждом из них имеется бесконечно много членов последовательности;

б)

в) .

По лемме о вложенных отрезках отсюда следует, что

2. Выделение подпоследовательности

Рассмотрим отрезок и возьмем любой член последовательности .

Рассмотрим отрезок и возьмем любой член последовательности . Так как на бесконечно много членов , то всегда можно выбрать .

Рассмотрим отрезок и возьмем любой член последовательности . Так как на бесконечно много членов , то всегда можно выбрать .

Рассмотрим отрезок и возьмем .

Продолжая эту процедуру до бесконечности получим подпоследовательность такую, что.

3. Сходимость получившейся подпоследовательности

Так как и то по теореме “о двух милиционерах”


Признак Больцано - Коши для последовательности


Признак Больцано-Коши. Для того, чтобы последовательность сходилась к конечному пределу, необходимо и достаточно, чтобы

.

Последовательность, удовлетворяющая этому условию называется “фундаментальной последовательностью” или последовательностью, “сходящейся в себе”.

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует конечный . Это значит, что

.

Но тогда

что и утверждается в условии теоремы.

Достаточность. Доказательство достаточности гораздо сложнее. Разобьем его на несколько частей.

10. Доказательство ограниченности последовательности.

Итак, пусть

Зафиксируем . Тогда

Рассмотрим

Тогда очевидно, что и последовательность ограниченна.

20. Выделение сходящейся подпоследовательности

Ссылаясь на лемму Больцано - Вейерштрасса выделим из нашей последовательности подпоследовательность которая сходится к конечному пределу .

30. Доказательство того, что вся последовательность сходится к тому же пределу

Так как , то

По условию леммы

Возьмем . Тогда взяв произвольное получим

что и говорит о том, что

Признак Больцано - Коши имеет более теоретическое, чем практическое значение. Однако на его основе строится целый ряд рабочих признаков сходимости для целого ряда математических объектов.


Функция и способы ее задания


Пусть имеются две вещественные оси и . Пусть на оси выбрано некоторое множество . Правило, которое каждому значению ставит в соответствие некоторое число называется функцией одной переменной и обозначается .

Множество , где такое определение имеет смысл, называется областью определения функции. Однако, при доказательстве различных теорем в качестве множества мы будем брать только какую - то часть области определения. Эту часть мы будем называть областью задания функции.

1. Аналитический способ. В этом случае функция задается в виде одной или нескольких формул, описывающих правило, устанавливающее соответствие . Например:

,

2. Графический способ. В этом случае оси и располагаются перпендикулярно друг другу, так что они образуют декартову систему координат. Соответствие для каждого определяет некоторую точку на плоскости . Совокупность этих точек образует некоторую кривую на плоскости , которая называется графиком плоскости. Если нарисован график функции, то тем самым задано и правило, определяющее соответствие .

0.1

3.15

0.2

3.27

0.3

3.75

0.4

4.22

.

.

.

.

.

.

3. Табличный способ. В этом случае функция задается в виде таблицы, в одном из столбцов которой перечислены значения аргумента, а в другом указаны соответствующие значения . Конечно, в одной таблице перечислить все значения аргумента невозможно, но какое - то представление о виде соответствия такая таблица обычно дает.

4. Алгоритмический способ. В этом случае соответствие задается в виде некоторого алгоритма, позволяющего находить по.

Например:

а) выписать в виде бесконечной десятичной дроби. Например ;

б) выписать без изменения значения и те цифры которые стоят до запятой;

в) после запятой выписать первую, третью, пятую и так далее, т.е. вообще цифры с нечетными порядковыми номерами.

Это и определит значение .

Вряд ли это правило может быть легко записано в виде формул.


Предел функции и его свойства


Определение. Число b называется пределом или предельным значением функции при x стремящимся к a (обозначение: , ) если

.

Это понятие предела также связано с идеей движения. В этом случае движение отражается в том, что при изменении аргумента x изменяется значение функции. Понятие предела возникает при определенном типе такого движения - когда аргумент приближается к a, то значения функции приближается к b.

Приведем без комментариев некоторые варианты этого определения

а) это значит, что

б) это значит, что

в) это значит, что

г) это значит, что

д) это значит, что

Вариантом этого определения являются так называемые односторонние пределы.

Определение. Число b называется пределом или предельным значением при справа (обозначение ) если

Число b называется пределом или предельным значением при слева (обозначение ) если

Напишите сами определение и .

Свойства предела функции

Можно показать, что предельное значение функции обладает теми же свойствами, что и пределы последовательности, в частности

  1. eсли
  2. Если и , то в некоторой окрестности ограничена
  3. Если , то .

Эти свойства доказываются аналогично тому, как доказываются соответствующие свойства для пределов последовательности.


Замечательные пределы


Рассмотрим примеры на вычисление пределов функции из числа тех, которые получили в математике название “замечательных”.

1. . Рассмотри окружность радиуса и некоторый угол x с вершиной в центре окружности. В точке проведем касательную к окружности . Тогда, как видно из рисунка,. Поэтому .

Так как высота равна , а , то , т.е. при

.

Деля все части этого неравенства на

,

и “переворачивая” его, получим

т.е.

.

Но

,

где использовано то, что и то, что согласно левой части неравенства ,

Поэтому окончательно

.

При ссылаясь на теорему “о двух милиционерах” получим, что

или .

2.

Этот предел является обобщением предела . Доказывать мы его не будем.


Предел монотонной функции


Определение. Функция называется

- монотонно возрастающей, если из

-строго монотонно возрастающей, если из

- монотонно убывающей, если из

-строго монотонно убывающей, если из .

Докажем одну из возможных здесь теорем.

Теорема. Если монотонно возрастает и ограниченна сверху при , то существует конечный предел слева.

Доказательство. Рассмотрим множество значений функции при. По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, т.е. . По теореме о существовании супремума отсюда следует, что существует конечный .

Покажем, что . По свойствам супремума

1.

2.

Обозначим . Возьмем любое x, для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности

а)

б)

Поэтому имеем

Выбрасывая лишнее получим, что

или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что .

Аналогичные теоремы можно сформулировать и доказать также для монотонно убывающих функций, а так же для пределов слева.


Признак Больцано - Коши для функции


Теорема. Для того, чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно чтобы

.

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует конечный предел . Это значит, что

.

Но тогда < имеем

что и сказано в условии теоремы.

Достаточность. Достаточность будем доказывать сводя этот признак к случаю признака Больцано - Коши для последовательности.

10. Сведение к пределу последовательности

Итак, пусть

Возьмем любую последовательность , сходящаяся к a, т.е. у которой . Это значит, что

.

Но тогда будут выполнены условия и получится что . Итак, получилось, что

.

По признаку Больцано - Коши для последовательности, отсюда следует, что существует конечный .

20. Независимость от выбора последовательности.

Возникающая здесь трудность заключается в том, что значение предела может зависеть от выбора последовательности . Покажем, что этого не может быть.

Пусть имеется последовательность для которой также верно, что , но .

Составим “мешанную”последовательность вида

.

Так как и и то ясно, что . Тогда теми же рассуждениями, что и в п. 1 показывается, что существует .

Но и и есть подпоследовательности последовательности , а как показано выше, любая подпоследовательность сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность. Поэтому

отсюда и следует, что .

Независимость от вида последовательности и говорит о том, что .


Сравнение бесконечно - малых и бесконечно - больших величин.

Определение. Функция называется бесконечно - малой величиной при если .

Пусть имеются две бесконечно - малые величины и . Тогда возможны следующие варианты

  1. Существует и В этом случае говорят, что бесконечно - малые величины и имеют одинаковый порядок малости и обозначают это так: или, что то же самое, (символ читается “О большое”)

2. или, что то же самое, . В этом случае говорят, что имеет более высокий порядок малости чем и обозначают это так: (символ “” читается “о малое”)

3. не существует. В этом случае говорят, что бесконечно малые и несравнимы.

Для стандартизации вводят стандартную бесконечно - малую величину . Пусть при некотором существует и . В этом случае говорят, что является бесконечно - малой - го порядка и записывают это так

.

Выражение называют главным членом .

Определение. Функция называется бесконечно - большой при если.

Пусть и две бесконечно - большие величины. Тогда возможны следующие варианты.

1. Существует , и .

В этом случае говорят, что и две бесконечно - большие одного порядка.

2. или, что то же самое, . В этом случае говорят, что является бесконечно - большой более высокого порядка, чем .

3. не существует. В этом случае говорят, что бесконечно - большие и несравнимы.

В качестве стандартной бесконечно - большой величины берут . Пусть при некотором существует, и . В этом случае говорят, что является бесконечно - большой -го порядка и записывают это так: . (Знак читается “асимптотически равно”).


Далее | Содержание | Назад Яндекс цитирования Rambler's Top100