Главная страница
О факультете
Новости
Деканат
Кафедры
Список групп
Выпускники
Расписание
Нормативные документы
Программное обеспечение
Библиотека факультета
Олимпиады
Текущая успеваемость
Студенту
Дополнительное образование
Абитуриенту
Фотоальбом
Форум
Карта сайта
Контакты

Рассылка

Погода
Skip Navigation Links Абитуриенту Варианты вступительных экзаменов 1997-2001 годы
Варианты вступительных экзаменов по математике АСФ КемГУ в 1997-2001 годах
© Составитель: Капустин Е.В.
© Кафедра математики АСФКемГУ, 2002-2005.

Письменный экзамен

Ответы

Вопросы устного экзамена по математике

Собеседование по математике

 

Письменный экзамен
Письменный вступительный экзамен по математике (репетиционный), 1997
Вариант 1

1.   Решить уравнение:

.

2.   Решить неравенство:

.

3.   Площадь треугольника равна S. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого равна . Найти площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами отсеченного треугольника, а четвертая лежит на середине основания исходною треугольника.

4.   Фигура имеет форму прямоугольника, завершенного равнобедренным прямоугольным треугольником, основание которого совпадает с одной из сторон прямоугольника. Найти наибольшую возможную площадь такой фигуры, если её периметр равен 5.

5.   Из трех кусков сплавов золота и серебра с соотношением масс 1:1, 1:5, 5:1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение золота н серебра в нем составило 2:1. Найти массу каждого исходного куска, если третий кусок весил втрое больше первого.


Письменный вступительный экзамен по математике (репетиционный), 1997
Вариант 2

1.   Решить уравнение:

.

2.   Решить неравенство:

.

3.   Параллельные стороны трапеции равны а и b. Определить длину отрезка, параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.

4.   Фигура имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом, диаметр которого совпадает с одной из сторон прямоугольника. Периметр фигуры равен 10. При каких длинах сторон прямоугольника фигура имеет наибольшую площадь?

5.   Два сплава состоят из меди, олова и цинка. В первом сплаве 40% олова, а во втором сплаве 26% меди. Процентное содержание цинка в 1-м н 2-м сплавах одинаковое. Сплавив 150 г 1-го и 250 г 2-го сплава, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько граммов олова содержится в новом сплаве?


Письменный вступительный экзамен по математике (основной), 1997
Вариант 3

1.   Решить уравнение:

.

2.   Решить неравенство:

.

3.   В круг, площадь которого равна S, вписана трапеция с основаниями а и b так, что центр круга находится внутри трапеции. Найти периметр трапеции.

4.   Вычислить массу и процентное содержание серебра в сплаве с медью, если известно, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получают сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг другого сплава, содержащего 90% серебра, получают сплав с 84%-ным содержанием серебра.

5.   В круге радиуса R проведена такая хорда, что сумма длины хорды и расстояния от неё до центра круга является наибольшей. Наши длину этой хорды.


Письменный вступительный экзамен по математике (основной), 1997
Вариант 4

1.   Решить уравнение:

.

2.   Решить неравенство:

.

3.   В круг вписана трапеция с основаниями а и b и высотой h. Центр круга лежит внутри трапеции. Найти площадь круга.

4.   Имеется два раствора серной кислоты в воде, 40%-ый и 60%-ьш. Их слили вместе и добавили 5 кг чистой воды, в результате чего получили 20%-ый раствор. Если бы вместо воды добавили 5 кг 80%-ого раствора, то получили бы 70%-ый раствор. Сколько было 40%-ого и 60%-ого растворов?

5.   Одна из вершин треугольника находится в центре окружности радиуса R, а две другие – на этой же окружности. При какой высоте треугольника, опущенной из центра окружности, его площадь будет наибольшей?


Письменный вступительный экзамен по математике (репетиционный), 1998
Вариант 5

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Две окружности касаются внешним образом в точке A. Найти радиусы окружностей, если хорды соединяющие точку A с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8 см.

4.   Среди всех конусов, периметр осевого сечения которых равен 8, найти конус с наибольшим объёмом и вычислить этот объём.

5.   Две машинистки вместе напечатали 65 страниц, причём первая работала на 1 час больше второй, однако, вторая машинистка печатает в час на 2 страницы больше первой, и поэтому она напечатала в итоге на 5 страниц больше. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка?


Письменный вступительный экзамен по математике (репетиционный), 1998
Вариант 6

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Около окружности радиуса 1 см описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5 см2. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

4.   Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно a и составляет с плоскостью основания угол . Найти , при котором объём пирамиды при заданном a будет наибольшим.

5.   Строительство туннеля велось в три смены, с одинаковым планом проходки в каждую смену. Скорость проходки во вторую смену была в 1,2 раза больше, чем в первую, а в третью смену выросла на 0,6 м/ч по сравнению со второй. Вторая смена выполнила план проходки на 1 час быстрее, чем первая, а третья смена выполнила половину плана на 3 часа быстрее, чем вторая смена весь план. Определите скорость проходки туннеля в первую смену.


Письменный вступительный экзамен по математике (основной), 1998
Вариант 7

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Основание трапеции равно 6 см, боковая сторона равна 13 см. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 6 см. Найти площадь трапеции.

4.   В прямоугольный сектор круга радиуса R вписан равнобедренный треугольник так, что его вершина лежит на середине дуги. Найти стороны треугольника наибольшей площади.

5.   Из пунктов A и B, расстояние между которыми 24 км, вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 часа 24 минуты. Первый пешеход проходит путь от A до B на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько времени нужно каждому пешеходу на путь от A до B? Каковы скорости пешеходов?


Письменный вступительный экзамен по математике (основной), 1998
Вариант 8

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   В трапеции, основания которой равны a и b, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции.

4.   Сумма двух сторон треугольника равна p, а угол между ними равен . Каковы должны быть длины боковых сторон, чтобы площадь треугольника была максимальной?

5.   В одном бассейне имеется 200 м3 воды, а в другом 112 м3. Открываются краны, через которые наполняются бассейны. Через сколько часов количество воды в бассейнах будет одинаковым, если во второй бассейн вливается в час на 22 м3 воды больше, чем в первый?


Письменный вступительный экзамен по математике (основной), 1998
Вариант 9

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найти её площадь, если известно, что в трапецию можно вписать и вокруг неё можно описать окружность.

4.   Среди всех треугольников с одинаковым основанием a и одним и тем же противолежащим углом  найти треугольник с наибольшим периметром.

5.   Для экскурсии нужно собрать деньги. Если каждый экскурсант внесет по 75 коп., то на расходы не хватит 4,4 руб., а если каждый внесет по 80 коп., то останется 4,4 руб. Сколько человек принимает участие в экскурсии?


Письменный вступительный экзамен по математике (основной), 1998
Вариант 10

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Основания трапеции равны a и b. Определить длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

4.   Найти наименьшую сумму трёх сторон параллелограмма площади S с острым углом .

5.   Группу школьников нужно рассадить в столовой, по 3 человека за каждый стол. Если сажать за стол по 2 девочки, то окажется 3 стола, где сидят одни мальчики. А если сажать за стол по 2 мальчика, то будет 2 стола с одними девочками. Сколько было девочек в группе?


Письменный вступительный экзамен по математике, 1999
Вариант 11

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Бассейн можно наполнить водой с помощью 2-х насосов, если первый работает 4 мин, а второй - 3 мин. Время наполнения бассейна с помощью одного первого насоса на 3 мин меньше, чем с помощью одного второго. Найти эти времена.

4.   В шар радиуса  вписан цилиндр. Чему равна высота цилиндра, имеющего наибольший объем?

5.   Центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции, делит ее высоту в отношении 3:4. Найти основания трапеции, если радиус окружности равен 10 и ее средняя линия равна высоте.


Письменный вступительный экзамен по математике, 1999
Вариант 12

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Для перевозки 60 т груза затребовали некоторое количество машин. В связи с тем, что на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше, дополнительно было затребовано еще 4 машины. Сколько машин было запланировано первоначально?

4.   При какой высоте конуса, вписанного в данный шар радиуса , площадь боковой поверхности конуса, будет наибольшей?

5.   Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других сторон на отрезки, равные 2 и 23 см. Найти радиус окружности.


Письменный вступительный экзамен по математике, 1999
Вариант 13

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Имеется два сплава серебра и золота; в одном количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом - в отношении 3:7 . Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг. сплава, в котором серебро и золото были бы в отношении 5:11?

4.   В конус с радиусом основания  и высотой  вписан цилиндр. Найти наибольший объем цилиндра.

5.   Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 9 и 17 см. Найти радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5 см.


Письменный вступительный экзамен по математике, 1999
Вариант 14

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Один сплав металлов А и В содержит эти металлы в отношении 2:3, второй сплав содержит те же металлы в отношении 4:3. Сколько килограммов второго сплава нужно добавить к одному килограмму первого, чтобы после переплавки содержание металлов А и В в новом сплаве было одинаковым?

4.   В конус с радиусом основания  и высотой  вписан цилиндр. Найти наибольшую боковую поверхность цилиндра.

5.     Найти радиус круга, в сегмент которого, соответствующий хорде длиной 6 см, вписан квадрат со стороной 2 см.


Письменный вступительный экзамен по математике, 2000
Вариант 15

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   В окружности радиуса 2 см проведена хорда  см и взята точка  таким образом, что . Найти длину хорды .

4.   Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на промежутке .

5.   Имеется 25%-ный раствор серной кислоты в воде. К нему добавили 1 кг воды, в результате чего получили 15%-ный раствор. Сколько было 25%-ного раствора?


Письменный вступительный экзамен по математике, 2000
Вариант 16

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   Около трапеции с основаниями 2 см и 6 см и углом при основании  описана окружность. Найти площадь круга.

4.   Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на промежутке .

5.   Имеется 1 кг 36%-ного раствора соли в воде. Сколько воды к нему нужно добавить, чтобы получить 20%-ный раствор?

Письменный вступительный экзамен по математике, 2000
Вариант 17

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   В круге радиуса  см проведены две хорды,  см и  см. Найти площадь треугольника .

4.   Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на промежутке .

5.   Имеется 1,5 кг 30%-ного раствора соли в воде. Сколько соли к нему нужно добавить, чтобы получить 50%-ный раствор?


Письменный вступительный экзамен по математике, 2000
Вариант 18

1.   Решить уравнение

.

2.   Решить неравенство

.

3.   В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной 2 см и 6 см. Определить площадь трапеции.

4.   Найти наибольшее и наименьшее значения функции

      на промежутке .

5.   Имеется 1,2 кг 24%-ного раствора соли в воде. После выпаривания содержание соли в растворе стало 30%. Найти массу раствора, полученного после выпаривания.


Письменный вступительный экзамен по математике, 2001
Вариант 19

1.   Решить уравнение <.

2.   Решить неравенство.

3.   Из руды с содержанием никеля 2,3% после переработки получается концентрат с содержанием никеля 17% и пустая порода с содержанием никеля 0,2%. Какое количество руды необходимо переработать, чтобы получить 125 кг руды?

4.   В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь.

5.   Определить промежутки возрастания и убывания функции . Вычислить значения функции в точках экстремума.

Письменный вступительный экзамен по математике, 2001
Вариант 20

1.   Решить уравнение  

2.   Решить неравенство .

3.   Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар содержит 70% воды, а полученный мед – 17% воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда?

4.   Площадь равнобедренной трапеции, описанной около крута, равна  см2. Определить сторону трапеции, если угол при основании равен .

5.   Определить промежутки возрастания и убывания функции . Вычислить значения функции в точках экстремума.

Письменный вступительный экзамен по математике, 2001
Вариант 21

1.   Решить уравнение .

2.   Решить неравенство .

3.   В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления 200 кг примесей, содержащих 12,5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось еще в руде?

4.   Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см2, а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного круга.

5.   Определить промежутки возрастания и убывания функции . Вычислить значения функции в точках экстремума.


Письменный вступительный экзамен по математике, 2001
Вариант 22

1.   Решить уравнение .

2.   Решить неравенство .

3.   Из молока жирности 3% после переработки получаются сливки жирности 6% и сыворотка 0,4%. Сколько молока необходимо переработать, чтобы получить 32,5 кг сливок?

4.   В равнобедренной трапеции одно основание - 40 см, а другое - 24 см, диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь.

5.   Определить промежутки возрастания и убывания функции . Вычислить значения функции в точках экстремума.


Ответы
Вариант 1

1.   .

2.   .

3.   .

4.  .

5.  , ,  кг.

Вариант 2

1.   .

2.   .

3.  .

4., .

5.   170 г.

Вариант 3

1.   .

2.   .

3.   <.

4.   2,4 кг и 80%.

5.   .

Вариант 4

1.   .

2.   .

3.   .

4.   1 кг и 2 кг.

5.   .

Вариант 5

1.   .

2.   .

3.    см,  см.

4.   , , .

5.   5 стр/ч, 7 стр/ч.

Вариант 6

1.   .

2.   .

3.   .

4.   .

  1. 2 м/ч.
Вариант 7

1.   .

2.   .

3.   198 см2.

4.   , , .

5.   4 часа и 6 часов, 6 км/ч и 4 км/ч.

Вариант 8

1.   .

2.   .

3.   .

4.   .

5.   4 часа.

Вариант 9

1.   .

2.  .

3.   80 см2.

4.   Равнобедренный треугольник.

5.   176 человек.

 

Вариант 10

1.   .

2.   .

3.   .

4.   .

5.   14 человек.

Вариант 11

1.   .

2.   .

3.   6 мин и 9 мин.

4.   .

5.   12 и 16.

Вариант 12

1.   .

2.   .

3.   20 машин.

4.   .

5.   17 см.

Вариант 13

1.   .

2.   .

3.   1 кг и 7 кг.

4.   .

5.    см.

Вариант 14

1.   .

2.  .

3.    кг.

4.   .

5.    см.

Вариант 15

1.   .

2.   .

3.    см.

4.   .

5.   1,5 кг.

Вариант 16

1.   .

2.   .

3.   .

4.  .

5.   0,8 кг.

Вариант 17

1. .

2.   .

3.    или .

4.   .

5.   0,6 кг.

Вариант 18

1.   .

2.   .

3.   .

4.   .

5.   0,96 кг.

Вариант 19

1.   .

2.   .

3.   1000 кг.

4.   25.

5.    – промежуток убывания; ,  – промежутки возрастания;      .

Вариант 20

1.  .

2.   .

3.    кг.

4.   4 см, 12 см, 8 см и 8 см.

5.    – промежуток убывания; ,  – промежутки возрастания;.

Вариант 21

1.   .

2.   .

3.   187,5 кг.

4.   1 см.

5.    – промежуток возрастания; ,  – промежутки убывания;.

Вариант 22

1.   .

2.   .

3.   70 кг.

4.   .

5.    – промежуток возрастания; ,  – промежутки убывания;.


Вопросы устного экзамена по математике
Алгебра и начала анализа

1.       Линейная функция , её свойства и график.

2.       Квадратичная функция , её свойства и график.

3.       Функция , её свойства и график.

4.       Степенная функция , , её свойства и график.

5.       Показательная функция , её свойства и график.

6.       Логарифмическая функция , её свойства и график.

7.       Функция , её свойства и график.

8.       Функция , её свойства и график.

9.       Функция , её свойства и график.

10.    Функция , её свойства и график.

11.    Арифметическая прогрессия, сумма первых  членов арифметической прогрессии.

12.    Геометрическая прогрессия, сумма первых  членов геометрической прогрессии.

13.    Решение уравнения , неравенств , .

14.    Решение уравнения , неравенств , .

15.    Решение уравнения , неравенств , .

16.    Формулы приведения (с доказательством).

17.    Формулы ,  (с доказательством).

18.    Тригонометрические формулы двойного аргумента (с доказательством).

19.    Тригонометрические формулы половинного аргумента (с доказательством).

20.    Формулы ,  (с доказательством).

21.    Вывод формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета.

22.    Логарифм произведения, степени, частного.

23.    Определение производной. Её геометрический смысл.

24.    Правила вычисления производных (без доказательства).

Геометрия

1.       Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

2.       Окружность. Свойство касательной к окружности.

3.       Теорема об измерении угла, вписанного в окружность.

4.       Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

5.       Свойство четырехугольника, вписанного в окружность.

6.       Теорема об окружности, описанной около треугольника.

7.       Свойство четырехугольника, описанного около окружности.

8.       Подобие треугольников, признаки подобия (доказать один из них).

9.       Равенство треугольников, признаки равенства (доказать один из них).

10.    Векторы. Действия над векторами.

11.    Теорема Пифагора.

12.    Теорема косинусов.

13.    Теорема синусов.

14.    Свойство средней линии трапеции.

15.    Параллелограмм. Формула площади параллелограмма.

16.    Треугольник. Формула площади треугольника.

17.    Трапеция. Формула площади трапеции.

18.    Признак параллельности прямой и плоскости.

19.    Признак параллельности плоскостей.

20.    Теорема о параллельных прямых в пространстве.

21.    Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

22.    Перпендикуляр и наклонные. Теорема о трех перпендикулярах.

23.    Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярности плоскостей.

24.    Призма. Формула объема прямой треугольной призмы.

25.    Прямая призма. Формула площади боковой поверхности прямой призмы.

26.    Пирамида. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды.

27.    Цилиндр. Формула площади боковой поверхности цилиндра. Формула объема цилиндра.

Собеседование по математике
Вопросы

1.       Признак параллельности двух плоскостей.

2.       Квадратичная функция, её свойства и график.

3.       Пирамида. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды.

4.       Признак параллельности прямой и плоскости.

5.       Степенная функция, её свойства и график.

6.       Теорема Пифагора.

7.       Показательная функция , её свойства и график.

8.       Линейная функция, её свойства и график.

9.       Теорема об измерении угла, вписанного в окружность

10.    Логарифмическая функция, её свойства и график.

11.    Теорема об окружности, вписанной в треугольник

12.    Функция , её свойства и график.

13.    Перпендикуляр и наклонные. Теорема о трех перпендикулярах.

14.    Определение производной функции. Ее геометрический смысл.

15.    Правила вычисления производных (без доказательств).

16.    Призма. Формула объема прямой треугольной призмы

Задачи

1.       Решить неравенство: .

2.       Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 20 см. Найти площадь этой трапеции, если угол при основании равен .

3.       Решить уравнение:
.

4.       Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой плоский угол при вершине равен , а сторона основания равна 3 см.

5.       Вычислить значение производной функции  в точке .

6.       Решить уравнение: .

7.       В основании прямого параллелепипеда  лежит параллелограмм со сторонами 1 и 4 см и острым углом . Большая диагональ параллелепипеда равна 5 см. Определить его объем.

8.       Решить уравнение.

9.       Найти объем шара, описанного около куба со стороной  равной 2см.

10.    Решить неравенство: .

11.    Решить уравнение: .

12.    Сторона ромба 15 см, большая диагональ 24 см. Найти площадь ромба.

13.    Найти область определения.

14.    Решить уравнение: .

15.    Шар радиуса 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

16.    Решить неравенство

17.    Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9 и 12 м, все боковые ребра равен 12.5 м. Найдите объем пирамиды.

Тема

 
 
Регистрация Забыли?

Наши студенты и выпускники
454_Ivanova.jpg

Голосование
Что для Вас наиболее значимо в выбранной Вами профессии?








Архив голосований